数［１］

以下の問いに答えよ．

(1) (0, ∞) 上の関数 f(x) = (1 + x)^{\frac{1}{x}} に対して， f′(x) および lim_{x→+0} f′(x) を求めよ．

(2) ∫ \sqrt{e^{x} − 1} dx を求めよ．

数［２］

以下の問いに答えよ．

(1) 2 次元複素列ベクトル x から行列 x̄^{t}x を作ると，これは正則でないことを示せ．ただし，^{t}x は x の転置ベクトルである．

(2) a, b, c を実数とする．行列

A = (\begin{matrix}1 + c & a − ib \\ a + ib & 1 − c \end{matrix})

に対して，ある列ベクトル x が存在して A = x̄^{t}x となるための必要十分条件を求めよ．

数［３］

自然数の集合 {m_{1}, ..., m_{n}} に値をとる確率変数 X に対し， p_{i} = P (X = m_{i}) > 0, i = 1, ..., n, とする．

(1) 確率分布 (q_{1}, ..., q_{n}) (q_{i} ≠ 0) に対し，次の不等式を示せ．

∑_{i=1}^{n} p_{i} log_{2} \frac{p_{i}}{q_{i}} ≥ 0.

(2) m_{i} = ⌈− log_{2} p_{i}⌉, i = 1, ..., n, （ ⌈x⌉ は k ≥ x なる最小の自然数 k ）のとき，

∑_{i=1}^{n} 2^{−m_{i}} ≤ 1, E[X] ≤ − ∑_{i=1}^{n} p_{i} log_{2} p_{i} + 1

を示せ．ただし， E[X] は X の平均値．

(3) m_{1}, ..., m_{n} が ∑_{i=1}^{n} 2^{−m_{i}} ≤ 1 をみたすとき，次の不等式を示せ．

E[X] ≥ − ∑_{i=1}^{n} p_{i} log_{2} p_{i}.

数［４］

実微分可能関数 x(t) と y(t) が微分方程式

\frac{dx}{dt} = x − 4e^{−t}y,
\frac{dy}{dt} = e^{t}x + 4y

を満足するとき，以下の問いに答えよ． (1) z = px + qy と w = qy が微分方程式

\frac{dz}{dt} = −4w,
\frac{dw}{dt} = z.

を満足するように実微分可能関数 p(t)， q(t) を定めよ．

(2) x(0) = 2， y(0) = 0 のとき x(t) と y(t) を求めよ．

数［５］

二つの自然数を要素とするような無限個の集合たちからなる族 F に対し, F の無限部分族 G で, 次の (1), (2) いずれかの性質を持つものがとれることを示せ:

(1) 任意の異なる A, B ∈ G について A ∩ B = ∅ である,

(2) 自然数 a が存在して, 任意の異なる A, B ∈ G について A ∩ B = {a} である.

数［６］

φ をオイラー関数とする．すなわち，自然数 m に対して， 1 以上 m 以下の自然数で m と互いに素となる自然数の個数を φ(m) で表わす．このとき，互いに素な自然数 m, n に対して，

φ(mn) = φ(m)φ(n)

が成立することを以下を証明することにより示せ． (1) 任意の整数 a, b に対して，以下の連立合同式の整数解が法 mn で一意的に定まる．

\{ \begin{matrix}x ≡ a mod m \\ x ≡ b mod n \end{matrix}

(2) m と互いに素な整数 a および n と互いに素な整数 b に対して，上の整数解 x を対応させると，この対応は (ℤ/mℤ)^{×} × (ℤ/nℤ)^{×} から (ℤ/mnℤ)^{×} への全単射となる．

(3) 互いに素な自然数 m, n に対して，

φ(mn) = φ(m)φ(n)

が成立する．

数［７］

情報システムの選定における評価基準が，機能性，操作性，経済性，信頼性の４項目であり，その代替案がＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４種類あったとする．いま，それらの階層構造が図１であったとき，階層分析法にしたがって，代替案を最適な順に選定する方法を次の用語を全て用いて述べよ．

”一対比較，重要度（重み），重要性の尺度，固有値，固有ベクトル，整合度，正規化”

最適な情報システムの選定機能性操作性経済性信頼性代替案 A 代替案 B 代替案 C 代替案 D

図１ 情報システム選定の階層構造