数［１］次の極限を求めよ．

（１） lim_{n→∞}(1 + \frac{3}{2n} + \frac{1}{2n^{2}} )^{n}

（２） lim_{n→∞}(1 + \frac{3}{2n} + \frac{1}{4n^{2}} )^{n}

数［２］次の n + 1 次行列の行列式を求めよ．

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & ⋯ & ⋯ & 1 & 1 \\ b_{1} & a_{1} & a_{1} & a_{1} & ⋯ & ⋯ & a_{1} & a_{1} \\ b_{1} & b_{2} & a_{2} & a_{2} & ⋯ & ⋯ & a_{2} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} & a_{3} & ⋯ & ⋯ & a_{3} & a_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ... & ⋮ & ⋮ \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} & b_{4} & ⋯ & ⋯ & a_{n−1} & a_{n−1} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} & b_{4} & ⋯ & ⋯ & b_{n} & a_{n} \end{matrix} )

数［３］（１） X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}を [0, 1] 上の一様分布に従う独立確率変数列とし， X = max{X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}} とおく．事象 X ≦ x であることは，すべての kに対して X_{k} ≦ x が成り立つことと同値であることを使って， Xの分布関数 P (X ≦ x)， Xの確率密度関数， Xの平均を求めよ．（２） Y_{1}, Y_{2}, ..., Y_{n}を独立確率変数列で，それぞれ次の指数分布に従うとする：

P (Y_{k} ≦ y) = ∫_{0}^{y} e^{−t}dt.

Y = min{Y_{1}, Y_{2}, ..., Y_{n}} とおくとき， Y の分布関数 P (Y ≦ x), Y の確率密度関数， Y の平均を求めよ．

Typeset by AMS-TEX

数［４］ a, y_{0}を定数として，微分方程式

y′(t) − ay(t − 1) = 0 for t > 0, y(t) = y_{0} for − 1 ≦ t ≦ 0

を解く．（１） 0 ≦ t < 1 のときの解 y(t) を求めよ．（２）一般の t(t > 0) に対して，解は

y(t) = y_{0} ∑_{n=0}^{⌊t+1⌋} a^{n} \frac{(t − n + 1)^{n}}{n!}

で与えられることを示せ．ただし， ⌊t⌋ は t を越えない最大の整数を表す．（３） t > 0 のとき，解 y(t) の連続微分可能性を調べよ．

数［５］ C(ℝ) を実数上連続関数の全体とし， f, g ∈ C(ℝ) に対して

f ≦ g ⟺ ∀x ∈ ℝ(f(x) ≦ g(x))

で順序を定義する． A ⊂ C(ℝ) がこの順序で整列集合になるなら， A は可算であることを証明せよ．

数［６］（１） a, b を整数とし b ≠ 0 とする． a を b で割ったときの商を q，余りを rとすれば, a, b の最大公約数は b, rの最大公約数に等しいことを証明せよ．（２） a, b の最大公約数を c とすれば， c = αa + βb となる整数α, β が存在することを証明せよ．（３） a, b の最大公約数が 1 のとき，ある整数 c に対して a が bc の約数ならば a は c の約数であることを証明せよ．数［７］ある企画プロジェクトチームのリーダを選定するためにあげられた基準が， ◯ 1 リーダ的素質， ◯ 2 性格， ◯ 3 感性， ◯ 4 人間的魅力， ◯ 5 将来性， ◯ 6 教育環境， ◯ 7 技能， ◯ 8 人間関係の８項目であった．これらの項目について一対比較を行い，要素◯ i が要素◯ j に影響を与える場合を 1，そうでない場合を 0 としたときの関係行列 P が F ig.1 であった．

P = \begin{aligned}& ◯ 1 & ◯ 2 & ◯ 3 & ◯ 4 & ◯ 5 & ◯ 6 & ◯ 7 & ◯ 8 \\ ◯ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ ◯ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ ◯ 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ ◯ 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ ◯ 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ ◯ 6 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ ◯ 7 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ ◯ 8 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{aligned}

F ig.1

以下の問いに答えよ．（１）この行列の可到達行列 Rを求めよ．（２）隣接するレベル間の要素の関係を示す構造化行列 Sを計算せよ．（３）選定基準の階層構造を図示せよ．（４）システムの階層構造化手法である Dematel 法と，上記（１）〜（３）による構造化方法との相違点を簡明に記しなさい．