数 [1]X = (\begin{matrix}−26 & 10 \\ −105 & 39 \end{matrix}) とする.

(1) X を対角化せよ.

(2) X = Y^{2} となる実行列 Y を一つ求めよ.

数 [2] 次の問いに答えよ.

(1) 広義積分 ∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x}dx は収束することを示せ.

(2) 広義積分 ∫_{0}^{∞} \frac{| sin x|}{x}dx は発散することを示せ.

数 [3]Q = (Q(a_{1}), ..., Q(a_{m})) を A = {a_{1}, ..., a_{m}} 上の確率分布とし, X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}, ... は互いに独立で Pr (X_{n} = a_{i}) = Q(a_{i}) (i = 1, ..., m, n = 1, 2, ...) なる確率変数列とする. 長さ n の系列 x ≡ (x_{1}, ..., x_{n}) ∈ A^{n} における a_{i} の出現個数を N(a_{i}|x) と記す. 集合 T_{n,ε} (ε > 0) を

T_{n,ε} = \{x ∈ A^{n}; |\frac{N(a_{i}|x)}{n} − Q(a_{i})| ≤ \frac{εQ(a_{i})}{log m}, i = 1, ..., m\}

と定める. このとき, 以下のことを示せ.

(1) 任意の x = (x_{1}, ..., x_{n}) ∈ T_{n,ε} に対し,

|\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} log Q(x_{k}) − ∑_{i=1}^{m} Q(a_{i}) log Q(a_{i})| ≤ ε.

(2) lim_{n→∞} Pr {(X_{1}, ..., X_{n}) ∈ T_{n,ε}} = 1.

数 [4]p を奇素数とする. p と互いに素な整数 a に対して x^{2} ≡ a mod p が解をもてば, 任意の自然数 n に対して x^{2} ≡ a mod p^{n} は 2 個の解を持つことを証明せよ.

数 [5] 非斉次２階線型常微分方程式

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = ϕ(x)

を考える.

(1) 対応する斉次方程式の線型独立な二つの解 y_{1}(x), y_{2}(x) が既知であるとき, u(x), v(x) を

u′y_{1} + v′y_{2} = 0, u′y′_{1} + v′y′_{2} = ϕ(x)

を満たすように選べば, y(x) = u(x)y_{1}(x) + v(x)y_{2}(x) は非斉次方程式の一つの解（特解）であることを示せ.

(2) x および 1/x は

y′′ + \frac{y′}{x} − \frac{y}{x^{2}} = 0 (x > 0)

の解であることを用いて

y′′ + \frac{y′}{x} − \frac{y}{x^{2}} = log x (x > 0)

の一般解を求めよ.

(3) 上の (2) において, 非斉次方程式の解で y(1) = 1, y′(1) = 0 を満たすものを求めよ.

数 [6]ℕ を自然数全体の集合, A = {f | f は ℕ から ℕ への写像}, B = {f | f は ℕ から A への写像} とする.

(1) |A| = |B| (A と B は同じ濃度をもつ) であることを証明せよ.

(2) A = ⋃_{n∈ℕ} C_{n} とすると, |C_{m}| = |A| となっている m ∈ ℕ が存在していることを示せ.

数 [7] 階層別分析法における次の問いに答えよ.

(1) 一対比較の利点と欠点について述べなさい.

(2) 整合度 (Consistency Index) の意味について説明しなさい.

(3) どのような場合に幾何平均を利用するのか, 算術平均ではなく幾何平均にする理由を記しなさい.

(4) グループによる意思決定への適用方法を具体的に述べなさい.

(5) 階層分析法がどんなばあいに適用できるのか, その簡単な例を挙げ, 階層構造 (階層図) で表しなさい.